[BOJ/Python] 1865_웜홀

문제 출처:https://www.acmicpc.net/problem/1865

1865번: 웜홀

문제

때는 2020년, 백준이는 월드나라의 한 국민이다. 월드나라에는 N개의 지점이 있고 N개의 지점 사이에는 M개의 도로와 W개의 웜홀이 있다. (단 도로는 방향이 없으며 웜홀은 방향이 있다.) 웜홀은 시작 위치에서 도착 위치로 가는 하나의 경로인데, 특이하게도 도착을 하게 되면 시작을 하였을 때보다 시간이 뒤로 가게 된다. 웜홀 내에서는 시계가 거꾸로 간다고 생각하여도 좋다.

시간 여행을 매우 좋아하는 백준이는 한 가지 궁금증에 빠졌다. 한 지점에서 출발을 하여서 시간여행을 하기 시작하여 다시 출발을 하였던 위치로 돌아왔을 때, 출발을 하였을 때보다 시간이 되돌아가 있는 경우가 있는지 없는지 궁금해졌다. 여러분은 백준이를 도와 이런 일이 가능한지 불가능한지 구하는 프로그램을 작성하여라.

입력

첫 번째 줄에는 테스트케이스의 개수 TC(1 ≤ TC ≤ 5)가 주어진다. 그리고 두 번째 줄부터 TC개의 테스트케이스가 차례로 주어지는데 각 테스트케이스의 첫 번째 줄에는 지점의 수 N(1 ≤ N ≤ 500), 도로의 개수 M(1 ≤ M ≤ 2500), 웜홀의 개수 W(1 ≤ W ≤ 200)이 주어진다. 그리고 두 번째 줄부터 M+1번째 줄에 도로의 정보가 주어지는데 각 도로의 정보는 S, E, T 세 정수로 주어진다. S와 E는 연결된 지점의 번호, T는 이 도로를 통해 이동하는데 걸리는 시간을 의미한다. 그리고 M+2번째 줄부터 M+W+1번째 줄까지 웜홀의 정보가 S, E, T 세 정수로 주어지는데 S는 시작 지점, E는 도착 지점, T는 줄어드는 시간을 의미한다. T는 10,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

두 지점을 연결하는 도로가 한 개보다 많을 수도 있다. 지점의 번호는 1부터 N까지 자연수로 중복 없이 매겨져 있다.

출력

TC개의 줄에 걸쳐서 만약에 시간이 줄어들면서 출발 위치로 돌아오는 것이 가능하면 YES, 불가능하면 NO를 출력한다.

예제 입력 1

2
3 3 1
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 3
3 2 1
1 2 3
2 3 4
3 1 8

예제 출력 1

NO
YES

---

풀이

 

문제를 요약하면 다음과 같다.

 

1. N개의 지점이 존재한다.(N개의 노드가 존재한다.)
2. M개의 도로가 존재하며, 이동 시 T만큼의 시간이 걸린다. (도로는 양방향으로 된 양의 가중치를 가진 간선이다.)
3. W개의 웜홀이 존재하며, 이동 시 T만큼의 시간이 감소한다. (웜홀은 단방향으로 된 음의 가중치를 가진  간선이다.)
4. 한 지점에서 출발을 하여 다시 출발을 하였던 위치로 돌아왔을 때, 출발을 하였을 때보다 시간이 되돌아가 있는 경우가 존재하는 지를 구하는 문제이다.

처음 문제를 봤을 때, 1번 지점에서 다시 1번 지점으로 돌아왔을 때 음의 사이클이 존재하는 지 여부를 묻는 문제라고 착각을 했다. 그래서 1번 지점 -> 다른 지점 -> 음의 사이클 -> 1번 지점 이 생기는 경우를 확인하였지만 틀렸다.

이 문제는 1번 지점에서 출발하는 것이 아닌, 어떠한 한 지점에서 출발을 하고 다시 돌아왔을 때, 그 경로에 음의 사이클이 존재하는 지를 묻는 문제이다.

즉, 모든 지점 사이에 음의 사이클이 하나라도 존재한다면 YES 이고, 아니라면 NO 를 출력하는 문제인 것이다.

 

음의 가중치가 존재하는 최단 거리 문제는 벨만-포드 알고리즘을 이용하여 해결할 수 있다.

최소신장트리를 만들 때, 간선의 개수가 N-1개인 것 처럼, 한 지점에서 다른 지점까지 최단거리를 구하기 위하여 간선 리스트를 최대 N-1번 확인하면 된다. 그런데 음의 사이클이 존재한다면, N번, N+1번, ... 비교하면 할수록 최단거리가 계속 줄어들게 되고, 이를 통해 음의 사이클이 존재함을 알 수 있다.

 

1번 지점에서 출발하여 최단거리를 구하는 경우, 1번 지점의 distance를 0으로 초기화하고 나머지는 INF로 시작하지만, 이렇게 되면 1번 지점과 연결되지 않은 부분은 음의 사이클이 존재하는 지 확인할 수 없다.

그러면 1번 지점에 대하여 벨만-포드를 수행하여 음의 사이클 여부를 확인하고, 2번 지점에 대하여 또 확인하고, ... N번 지점에 대하여 또 확인하게 되면, 벨만-포드 알고리즘의 시간 복잡도는 노드의 개수 V, 간선의 개수 E에 대하여 O(VE)인데, 이를 노드의 개수 V만큼 수행하므로 O(V**2 E)만큼의 시간 복잡도가 걸리게 된다.

 

따라서, 벨만-포드 알고리즘 N번 수행하지 말고 한 번 수행하되, 모든 지점에 대하여 동시에 수행시키는 방법을 선택하였다. 모든 지점의 distance를 0으로 초기화하고, 간선 리스트를 바탕으로 distance를 갱신한다. 최종적으로 N-1번의 과정을 거치고 N번째에서 갱신이 또 이루어지게 되면 음의 사이클이 존재하므로 YES를 출력하고, 아니라면 NO를 출력한다.

 

코드는 다음과 같다.

 

import sys
 
def bf():
    for i in range(n):
        for j in range(2*m+w):
            curr,next,cost = edges[j]
            
            if distance[curr]+cost < distance[next]:
                distance[next] = distance[curr] + cost
                if i==n-1:
                    return True
    
    return False
 
 
tc = int(sys.stdin.readline())
 
for _ in range(tc):
    n,m,w = map(int,sys.stdin.readline().split())
 
    edges = []
    distance = [0 for _ in range(n+1)]
 
    for _ in range(m):
        s,e,t = map(int,sys.stdin.readline().split())
        edges.append((s,e,t))
        edges.append((e,s,t))
    
    for _ in range(w):
        s,e,t, = map(int,sys.stdin.readline().split())
        edges.append((s,e,-t))
 
    negative_cycle = bf()
 
    if negative_cycle:
        print("YES")
    else:
        print("NO")