디랙 표기법(Dirac notation), 브라-켓 표기법(Bra-ket notation)

 

 

 

 

디랙 표기법, 또는 브라-켓 표기법은 양자 역학에서 양자 상태를 표현하는 표준적인 방법입니다.

이 표기법은 폴 디랙(Pual Dirac)이 고안한 방법으로, 양자 상태와 연산을 간결하고 명확하게 표현할 수 있게 해줍니다.

 

이를 브라-켓 표기법이라고 부르는 이유는 브라(Bra) 벡터와 켓(Ket) 벡터를 이용하기 때문입니다.

브래킷(Bracket)이라는 단어는 '［ ］', '〔 〕', '[ ]' 등과 같은 괄호의 이름이라는 뜻을 갖고 있습니다.

---

디랙 표기법을 이용하여 양자 상태를 나타낼 수 있습니다. 

$ a,b \in \mathbb{C}^{2} $ (복소수 성분을 갖고 있는 2차원 벡터)

 

켓(Ket) : $ \left| a \right> = \begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2
\end{pmatrix} $

 

우선 켓의 경우 이렇게 열벡터(Column vector)의 형태로 나타낼 수 있습니다.

 

브라(Bra) :$ \left< b \right| = \left| b \right>^{\dagger} =  \begin{pmatrix}
b_1 \\ b_2
\end{pmatrix} ^{\dagger} = \begin{pmatrix}
b_1^{\ast} & b_2^{\ast}\\
\end{pmatrix} $ 

 

브라의 경우 행벡터(Row vector)의 형태로 나타낼 수 있습니다.

일반적으로 켓을 이용하여 브라를 표현할 수도 있고, 브라를 이용하여 켓을 표현할 수 있습니다.

 

여기서 브라의 경우는 켓에 켤레 전치(conjugate transpose)를 적용한 것으로 나타낼 수 있습니다.

$\left< b| = | b \right>^{\dagger}$ 부분을 보면, 대거(dagger) 기호를 볼 수 있는데, 이게 켤레 전치를 적용한다는 것을 의미합니다. (이름 그대로 단검을 뒤집어 놓은 듯한 모양이라서 대거라고 부릅니다.)

 

전치는 행렬의 열과 행을 바꾸는 것으로, 여기서는 단순하게 행벡터를 열벡터로 바꾸는 것이라고 생각할 수 있습니다.

$b = \begin{pmatrix}
b_1 \\ b_2
\end{pmatrix}$가 있을 때, 전치를 하게 되면 $b^{T} = \begin{pmatrix}
b_1 & b_2  \\
\end{pmatrix}$이 됩니다.

 

켤레는 복소수의 허수부분의 부호를 반대로 바꾸는 것이라고 생각할 수 있습니다.

만약 $ b_1 = 5 + 7i $ 라면, $ b_1^{\ast} = 5 - 7i$ 가 됩니다.

 

 

브라-켓(Bra-Ket) : $ \left< b|a \right>$

브라-켓은 이처럼 브라를 쓰고 켓을 쓰는 방식입니다.

브라는 (1XN)의 행벡터이고, 켓은 (NX1)의 열벡터입니다. 행렬곱으로 생각을 할 수 있으며, 그 결과는 스칼라가 됩니다.

 

$\left< b|a \right> = a_1b_1^{\ast} + a_2b_2^{\ast}$ 와 같이 각 성분들의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

 

또한, 

$ \left< a|b \right> = a_1^{\ast}b_1 + a_2^{\ast}b_2$ 이므로,

$ \left< b|a \right>  = \left< a|b \right>^{\ast}$ 라는 것을 확인할 수 있습니다.

 

 

켓-브라(Ket-Bra) : $ |a\left> \right< b| $

켓-브라는 켓을 먼저 쓰고 브라를 쓰는 방식입니다.

켓은 (NX1)의 열벡터이고, 브라는 (1XN)의 행벡터입니다. 따라서 결과는 (NXN)의 행렬로 나타나게 됩니다.

 

$ \left|a \right> = \begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2
\end{pmatrix} $

 

$ \left< b\right| = \begin{pmatrix}
b_1^{\ast} & b_2^{\ast}\\
\end{pmatrix} $ 

일 때, 

 

$ |a\left> \right< b|  =\begin{pmatrix}
a_1b_1^{\ast} & a_1b_2^{\ast} \\
a_2b_1^{\ast} & a_2b_2^{\ast} \\
\end{pmatrix} $ 가 됩니다.

 

---

 

큐비트의 경우 0상태의 큐비트와 1상태의 큐비트는 각각 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

$ \left|0 \right> := \begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix} $

 

$ \left|1 \right> := \begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix} $

 

여기서 $ \left|0 \right>$과 $ \left|1 \right> $은 직교(orthogonal)하며, 따라서 $ \left< 0|1 \right> = \left< 1|0 \right> = 0$이 됩니다.

 

또한 모든 양자 상태는 정규화되어야 합니다. 즉, 다음이 성립해야 합니다.

$\langle\psi|\psi\rangle = 1$

 

만약 

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2} (|0\rangle + |1\rangle)$ 이라면,

 

$|\psi\rangle = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2}
\end{pmatrix}$ 임을 알 수 있고,

 

$\langle\psi| = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2}
\end{pmatrix}$ 가 되므로, 

 

$\langle\psi|\psi\rangle = 1$임을 만족함을 알 수 있습니다.