[BOJ/Python] 4948_베르트랑 공준

문제 출처 : https://www.acmicpc.net/problem/4948

4948번: 베르트랑 공준

 

문제

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하는 한 줄로 이루어져 있다.

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

제한

• 1 ≤ n ≤ 123,456

예제 입력 1

1
10
13
100
1000
10000
100000
0

예제 출력 1

1
4
3
21
135
1033
8392

 

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풀이

 

n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 단순한 문제이다.

 

import sys
import bisect
 
n_list = [True for _  in range(123456*2)]
n_list[0] = False
n_list[1] = False
prime_numbers = []
 
for i in range(2,123456*2):
    if n_list[i]:
        prime_numbers.append(i)
        for j in range(i*2,123456*2,i):
            n_list[j]= False
 
while True:
    n = int(sys.stdin.readline())
    if n==0:
        break
    
    print(bisect.bisect_right(prime_numbers,2*n) - bisect.bisect_right(prime_numbers,n))

1. 우선 에라토스테네스의 체를 이용하여 2n의 범위가 123,456 * 2 까지이므로, 최대 범위까지의 소수의 리스트를 구한다.
2. 입력을 받고, 0일 경우 break를 이용하여 반복문을 종료하고 끝낸다.
3. 입력 받은 값이 0이 아닐 경우 n보다 크고 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구한다.(2n은 어차피 2보다 큰 짝수이므로 소수가 될 수 없다.)

 

• 여기서 bisect 모듈을 import하여 binary search를 이용하여 소수를 구하였다.
• prime_numbers는 2부터 123456*2 -1 까지의 소수가 오름차순으로 append되어있기 때문에, 정렬 없이 binary search를 사용할 수 있었다.
• bisect.bisect_right(prime_numbers,2*n)의 경우 2*n이 소수가 아니므로 prime_numbers에 존재하지 않으므로 bisect_left를 써도 상관이 없지만, bisect.bisect_right(prime_numbers,n)의 경우 n이 소수일 경우 prime_numbers에 존재하므로 bisect_right를 이용하여 n보다 큰 소수의 개수를 구하였다.
• 만약 문제에서 n보다 큰 소수가 아닌 n보다 크거나 같은 소수를 구하라고 했다면 bisect_left(prime_numbers,n)을 이용하였을 것이다.

ex)

prime_numbers =  [2 3  (left)  5  (right) 7 11 13 17 19]

n이 5일 경우, bisect.bisect_left(prime_numbers,n) = 2

bisect.bisect_right(prime_numbers,n) = 3

 

(2n까지의 소수의 개수) - (n보다 큰 소수의 개수)의 경우 위에서 알 수 있듯이 left를 이용하면 n을 포함하게 되므로 right를 이용하여 n보다 큰 값들만 구할 수 있도록 하여야 한다.